Вступая в 7-й класс, все мои сверстники перешли от математики к алгебре. А между тем есть разница: алгебра имеет дело не с числами, а с буквами, которые могут обозначать какие угодно числа. Здесь я задумалась о бесконечности. Вообще-то с древних времён все великие пытались понять её смысл! Говорят, что только математики продвинулись дальше всех.
Бесконечность (infinitum) в переводе значит «без границ». Я переговорила с начинающими математиками и с экспертами. Есть ли бесконечность? Как объяснить, что она существует, на примерах, чтобы поняли мои сверстники?
О бесконечности мы говорим часто: то нам кажется, что день бесконечный, или смотрим на океан и тоже думаем о бесконечности. Но так или иначе понять её смысл нелегко.
Даня, ученик 7-го «Л» класса и начинающий математик, подходит к ответу, как всегда, с юмором: «Бесконечность — это перевёрнутая восьмёрка или два нолика. А если серьёзно, то легко посчитать, к примеру, сколько песка. У разного песка разный диаметр песчинок, можно посчитать примерное количество объёма. В математической формуле это выглядит так: s — общий объём песка; d — средний диаметр песчинки; s/d— количество песчинок на объём».
Французский математик, физик и астроном Пьер-Симон Лаплас говорил: «То, что мы знаем, — ограничено, а то, чего мы не знаем, — бесконечно». Сам знак бесконечности впервые появился в XVII веке. Есть несколько вариантов его происхождения:
- это змея, кусающая себя за хвост, символизирующая вечность;
- запись числа 1000 римскими цифрами в виде CIƆ;
- буква ω (омега, последняя в алфавите).
B математике различают потенциальную и актуальную бесконечность. Когда говорят o том, что некоторая величина бесконечна потенциально, то имеют в виду, что она может быть неограниченно увеличена, то есть имеется возможность её наращивания. А актуальная реально существует.
Обратимся к Галилею. Он задался вопросом: бесконечно много — это всегда одинаково много? «Парадокс Галилея, — говорит Иван, ученик 7-го «Т» класса, — заключается в том, что некоторые числа являются квадратами других чисел. Точных квадратов и обычных чисел будет больше, чем простых квадратов. Для каждого числа найдётся его точный квадрат, а для точного квадрата — квадратный корень. Корень квадратный из 100 = 10, так как 10 умножить на 10 = 100».
Другой учёный Георг Кантор использовал актуальную бесконечность. Ввёл термин «мощность». Доказал, что множество натуральных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество чётных чисел
1 2 3…
2 4 6…
А вот, по мнению Андрея, репетитора по математике, не каждую бесконечность можно пересчитать: «..Нельзя пересчитать точки на отрезке, действительные числа от 0 до 1 с конечными и бесконечными десятичными дробями. Так как их количество несчётно. Например, между двумя последовательными целыми числами не существует никаких других целых чисел. Возьмём 6 и 7: мы видим, что между ними «не поместится» никакое другое целое число. Но если мы добавим дробные числа, это правило перестанет выполняться. Поскольку действие можно повторять бесконечно, то между двумя любыми действительными числами всегда будет располагаться бесконечно много других действительных чисел».
Чтобы я вас окончательно не запутала в этом вопросе, учитель математики Людмила Владимировна Сорокина разъясняет, как просто детям объяснить, что такое бесконечность: «В математике всегда есть действие, обратное данному. Есть сложение, а к нему — вычитание; есть умножение, а к нему — деление. Когда мы говорим, что число очень близкое к 0, оно маленькое. А если есть очень маленькое, значит, есть и очень большое. И очень большое должно находиться очень далеко. И тогда возникает эта необходимость обозначения понятия «очень далеко» и применяется слово «бесконечность». Бесконечность может быть со знаком + и со знаком −, поскольку числа есть положительные и отрицательные».
С тех пор как люди научились считать, математика прошла долгий путь. И даже появились названия для чисел, которые настолько велики, что их с трудом можно представить. «Миллиард», например, уже понятен для нас. А вот для людей несколько веков назад миллиард был каким-то фантастическим. Триллион — число с 12 нулями, квадриллион — с 15, в секстиллионе уже 21. Существует даже название числа с 303 нулями — центиллион.
Числа, скорее всего, бесконечны, но есть определённый порог, за которым они становятся настолько большими, что в них нет смысла, кроме того, что технически они могут существовать.
Так или иначе, благодаря переходу во второй четверти к другому учителю я впервые поняла, что полюбила математику с её корнями, квадратами и бесконечностью. Если после моей статьи вы тоже начнёте интересоваться математикой и полюбите предмет, то это будет маленькая победа. Такая же, какой она стала для меня!
Елизавета ПОЛАДОВА, 12 лет